Finite Elemente Methode

Was ist die Finite Elemente Methode?

Die Finite-Elemente-Methode (FEM) ist ein leistungsstarkes numerisches Verfahren, das in der Ingenieurwissenschaft und der angewandten Mathematik verwendet wird, um eine breite Palette von physikalischen und strukturellen Problemen zu analysieren und zu lösen. Sie hat ihre Anwendung in Bereichen wie mechanischer Konstruktion, Bauingenieurwesen, Luft- und Raumfahrttechnik, Biomechanik und vielen anderen gefunden. Hier sind die wichtigsten Konzepte und Schritte der Finite-Elemente-Methode:

1. Problemformulierung: Der erste Schritt besteht darin, das physikalische Problem klar zu definieren. Dies beinhaltet das Verständnis der zu untersuchenden Struktur, der einwirkenden Kräfte und der gewünschten Ergebnisse wie Spannungsverteilungen, Deformationen oder Wärmeübertragung.
2. Diskretisierung: Das zu analysierende Objekt oder System wird in eine Anzahl kleinerer, einfacherer Einheiten unterteilt, die als "finite Elemente" bekannt sind. Diese Diskretisierung verwandelt ein kontinuierliches Problem in ein diskretes Problem, das einfacher zu analysieren ist. Die Elemente sind oft Dreiecke, Vierecke, Tetraeder oder andere einfache Formen.
3. Auswahl des Elementtyps: Die Art der Elemente (z.B. Balken-, Platten-, Schalen-, Volumenelemente) hängt von der Art des Problems und der Geometrie der Struktur ab. Jedes Element hat seine eigenen Eigenschaften und Gleichungen.
4. Definition der Materialeigenschaften und Randbedingungen: Jedes Element wird mit Materialeigenschaften wie Elastizitätsmodul, Dichte und Wärmeleitfähigkeit ausgestattet. Zudem werden Randbedingungen und externe Belastungen wie Kräfte, Drücke oder Temperaturen festgelegt.
5. Aufstellung der Elementgleichungen: Für jedes Element wird eine Gleichung aufgestellt, die sein Verhalten beschreibt. Diese Gleichungen basieren auf physikalischen Gesetzen wie Elastizitätstheorie, Wärmeübertragung oder Fluidmechanik.
6. Assemblierung zum Gesamtsystem: Die Gleichungen für die einzelnen Elemente werden zu einem globalen System von Gleichungen zusammengefügt. Dieses System repräsentiert das Verhalten der gesamten Struktur oder des Systems.
7. Lösung des Gleichungssystems: Das resultierende Gleichungssystem wird numerisch gelöst, was die Verschiebungen, Spannungen, Temperaturen und andere relevante physikalische Größen an den Knotenpunkten der Elemente liefert.
8. Post-Processing und Analyse: Die Ergebnisse werden analysiert und interpretiert, um Schlussfolgerungen über die Leistungsfähigkeit und Sicherheit der Struktur zu ziehen. Dies kann die Visualisierung von Spannungsverteilungen, Deformationsmustern oder Wärmeflüssen beinhalten.

Die Finite-Elemente-Methode ermöglicht eine detaillierte Analyse von Strukturen und Systemen, die mit traditionellen analytischen Methoden schwierig oder unmöglich wäre. Sie ist besonders nützlich für komplexe Geometrien, nichtlineare Materialverhalten und komplexe Rand- und Anfangsbedingungen.